二項(xiàng)式定理教案

2023-08-11 來源：萬能知識(shí)網(wǎng)

二項(xiàng)式定理教案

§3.1.1 二項(xiàng)式定理(1)

[教學(xué)目標(biāo)]

(資料圖片僅供參考)

掌握二項(xiàng)式定理的內(nèi)容,會(huì)求多項(xiàng)式的二項(xiàng)展開式,二項(xiàng)式系數(shù)以及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng);經(jīng)歷二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過程,體會(huì)歸納－猜想－論證的思想方法,發(fā)展探究能力.

[重點(diǎn)難點(diǎn)]

經(jīng)歷二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過程.

[教學(xué)過程]

一. 二項(xiàng)式定理的引入

123已知abab,aba22abb2,aba33a2b3ab2

4n的展開式,進(jìn)而研究的展開式. abab

4ababababab,

0母的乘積,因而各項(xiàng)都是四次式: a4,a3b,a2b2,ab3,b4a4C4(每個(gè)括號(hào)都

1不取b),a3b的系數(shù)為C4(任取一個(gè)括號(hào)取ba),a2b2的系數(shù)為C42,

3ab3的系數(shù)為C4,b4的系數(shù)為C44.

40413244因此abC4aC4a3C4b.

1202122參照上式,有abb;abC2aC2abC2b;

312233 a3C3abC3ab2C3b.

二. n有

n1n1rnrrnnabCnabCnbnN* anCn

n右多項(xiàng)式叫做ab的二項(xiàng)展開式,共有n1項(xiàng),其中各項(xiàng)的系數(shù)

rCnr0,1,2,,n叫做二項(xiàng)式系數(shù),式中的Cnranrbr叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),它是展開式的第r1項(xiàng),用Tr1表示,即Tr1Cnranrbr.

用組合數(shù)的方法證明二項(xiàng)式定理.

三. 例題與練習(xí)

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1例1 求x的二項(xiàng)展開式. x

141131221314142xC4xC4xC4解: xx4C4x4x6. xx2x4xx-xx42344

例2

求x的二項(xiàng)展開式.

解

5 5

例解例解例證例解例7 求2x1的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù).

3解: 2x1的展開式的第4項(xiàng)是T31C72x773713560x4.故所求系數(shù)為560.

335. 注: 第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C7

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§3.1.2 二項(xiàng)式定理(2)

[教學(xué)目標(biāo)]

進(jìn)一步掌握二項(xiàng)式定理及其展開式的特點(diǎn);體驗(yàn)二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性.

[教學(xué)過程]

一. 復(fù)習(xí)回顧

n ninii0n1n12n22nn1. 二項(xiàng)式定理:abCnabCnaCnabCnabCnb, 展開式共 i0

有

二例解

. 解例

解例3 已知1x展開式中的第5,6,7項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列,求n的值.

546CnCnn7orn14. 解: 2Cn例4 求的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng). 6

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解: 設(shè)二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為第r1項(xiàng),即

Tr1Cr16

6r6kk,由0k3. 33k

所以二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T4

n205. 821例

2*解例解例解例證例解 1x992x993x99100x99123100x995050x99,所求系數(shù)為5050. 上海大學(xué)市北附屬中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)網(wǎng)

§3.2 二項(xiàng)式系數(shù)的應(yīng)用

[教學(xué)目標(biāo)]

了解二項(xiàng)式系數(shù)表及其特征,掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì);體驗(yàn)”楊輝三角”的優(yōu)美排列和數(shù)學(xué)規(guī)律. [重點(diǎn)難點(diǎn)]

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì). [教學(xué)過程]

一. 二項(xiàng)式系數(shù)表

將ab的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)列表如下

11ab

121ab

1331ab 4

ab14641 5

1510105ab

16152015ab

n012n2n1n

CnCnCnCnCnab

二. 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1 (對(duì)稱性),即CnrCnnr.

性質(zhì)2 (遞歸性)除1,即CnmCnm1Cnm1.

012n

CnCnCn2n. 性質(zhì)3 第n2n,即Cn

三. 例1 求證的展開式中,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

的和 n0n1n1rnrrnn

證: abCnaCnabCnabCnb,令a1,b1,得

nn123n

CnCn1Cn11Cn0Cn

022r132r1

0CnCnCnCnCnCn

022r132r1CnCnCnCnCnCn.

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例2 在二項(xiàng)式1x的展開式中,求含x的奇次項(xiàng)的系數(shù)和.

0122331313

解: 方法一 1xC13C13xC13xC13xC13x

1313

所以展開式中含x的奇次項(xiàng)的系數(shù)和為C13C13C13.

02121313例;

當(dāng)證例證四2233

x,Cnx,,xn的值也與零非常接近.所以1x1nx. 近,當(dāng)n不太大時(shí), Cn

例5 求下列數(shù)的近似值:(1)1.0003;(2)0.998. 解: (1)1.000310.0003150.00031.0015;

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(2)0.99810.002140.0020.992.

§3.2 二項(xiàng)式定理習(xí)題課

n nrnrr

1．a(chǎn)bCnab;

二例解

例解 . 例解

T一．回憶復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理及性質(zhì)

例4 若12xa0a1xa2x2a7x7,求a1a2a3a7.

解: 令x1,則12a0a1a2a7,又a01,a1a2a3a72. 例5設(shè)12x

100

a0a1x1a2x1a100x1,求a1a3a5a99.

2100

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解: 令x2,則5100a0a1a2a100,令x0,則1100a0a1a2a100,

510012a1a3a99a1a3a99

1100

51. 2

例6

設(shè)2

100

a0a1xa2x2a100x100,求

解例證例解例解例解: anC22n

2n481128 anCnnn1n1n

22232n

limnaan2a3111111

18. 8limnn1n2233

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例11 證明46n5n19nN*能被20整除. 證: 46n5n194515419

n1n1nn1n1n

45Cn5Cn5154Cn4Cn419

1n2n1

n1n11n2n1n

例證

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1.3.1二項(xiàng)式定理教案2016-09-08 22:41 | #2樓

1.3.1二項(xiàng)式定理

公主嶺第三高級(jí)中學(xué) 數(shù)學(xué)組——張鶴

一.三維目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：了解二項(xiàng)式定理的形成和過程，掌握二項(xiàng)式定理，會(huì)用其展開式的通項(xiàng)求某一項(xiàng)。

2.過程與方法：了解二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過程進(jìn)行類比，歸納推理推出二項(xiàng)式定理掌握二項(xiàng)式定理說明其應(yīng)用。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：體會(huì)知識(shí)間的遞進(jìn)關(guān)系。

二．德育目標(biāo)

1.提高學(xué)生的歸納推理能力

2.樹立由特殊到一般的歸納知識(shí)。

三，教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

1.2.教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用多項(xiàng)式乘法及排列組合知識(shí)推導(dǎo)二項(xiàng)式定理的形成過程

授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí) 教具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析：

二項(xiàng)式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識(shí)的具體運(yùn)用，是學(xué)習(xí)概率的重要基礎(chǔ)．這部分知識(shí)具有較高應(yīng)

用價(jià)值和思維訓(xùn)練價(jià)值．中學(xué)教材中的二項(xiàng)式定理主要包括：定理本身，通項(xiàng)公式，楊輝三角，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)等．

通過二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)應(yīng)該讓學(xué)生掌握有關(guān)知識(shí)，同時(shí)在求展開式、其通項(xiàng)、證恒等式、近似計(jì)算等方面形成技能或技巧；進(jìn)一步體會(huì)過程分析與特殊化方法等等的運(yùn)用；重視學(xué)生正確情感、態(tài)度和世界觀的培養(yǎng)和形成．

二項(xiàng)式定理本身是教學(xué)重點(diǎn)，因?yàn)樗呛竺嬉磺薪Y(jié)果的基礎(chǔ)．通項(xiàng)公式，楊輝三角，特殊化方法等意義重大而深遠(yuǎn)，所以也應(yīng)該是重點(diǎn)．二項(xiàng)式定理的證明是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)．這是因?yàn)椋C明中符號(hào)比較抽象、需要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用組合數(shù)的性質(zhì)2、需要用到不太熟悉的數(shù)學(xué)歸納法．

在教學(xué)中，努力把表現(xiàn)的機(jī)會(huì)讓給學(xué)生，以發(fā)揮他們的自主精神；盡量創(chuàng)造讓學(xué)生活動(dòng)的機(jī)會(huì)，以讓學(xué)生在直接體驗(yàn)中建構(gòu)自己的知識(shí)體系；盡量引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)展和創(chuàng)造意識(shí)，以使他們能在再創(chuàng)造的氛圍中學(xué)習(xí) 教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

122 ⑴(ab)2a22abb2C20a2C2abC2b；

1223⑵(ab)3a33a2b3ab2b3C30a3C3abC3ab2C3b⑶(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)的各項(xiàng)都是4次式，

即展開式應(yīng)有下面形式的各項(xiàng)：a4，a3b，a2b2，ab3，b4，展開式各項(xiàng)的系數(shù)：上面4個(gè)括號(hào)中，每個(gè)都不取b的情況有1

種，即C40種，a4的系數(shù)是C40；恰有1個(gè)取b的情況有C4種，a3b的1系數(shù)是C4，恰有2個(gè)取b的情況有C42種，a2b2的系數(shù)是C42，恰有3

種，ab3的系數(shù)是C43，有4都取b的情況有C443個(gè)取b的情況有C4

種，b4的系數(shù)是C44，

132223344

∴(ab)4C40a4C4abC4abC4abC4b．

二、講解新課：

1nrnrrnn二項(xiàng)式定理：(ab)nCn0anCnabCnabCnb(nN)

⑴(ab)n的展開式的各項(xiàng)都是n次式，即展開式應(yīng)有下面形式的各項(xiàng)：

an，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展開式各項(xiàng)的系數(shù)：

每個(gè)都不取b的情況有1種，即Cn0種，an的系數(shù)是Cn0；

恰有1個(gè)取b的情況有Cn種，anb的系數(shù)是Cn，……，

恰有r個(gè)取b的情況有Cnr種，anrbr的系數(shù)是Cnr，……，有n都取b的情況有Cnn種，bn的系數(shù)是Cnn，

1nrnrrnn

∴(ab)nCn0anCnabCnabCnb(nN)，

這個(gè)公式所表示的定理叫二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫(ab)n的二項(xiàng)展開式，⑶它有n1項(xiàng)，各項(xiàng)的系數(shù)Cnr(r0,1,n)叫二項(xiàng)式系數(shù)，

⑷Cnranrbr叫二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tr1表示，即通項(xiàng)Tr1Cnranrbr． ⑸二項(xiàng)式定理中，設(shè)a1,bx，則

1rr(1x)n1CnxCnxx

三、講解范例：

例1．(1)展開(11)4．(2)

展開x

例2．（1)求(12x)7的展開式的第四項(xiàng)的系數(shù) 求(x1)9的展開式中x3的系數(shù)

練習(xí) （1)(12x)5___________ （2___________ （3）第三項(xiàng)的系數(shù)是___________ 練習(xí) （1）求(2x3y)6的展開式的第三項(xiàng) （2）求(3y2x)6的展開式的第三項(xiàng)

五、小結(jié) ：二項(xiàng)式定理的探索思路:觀察——?dú)w納——猜想—六、課后作業(yè)：

A層次：習(xí)題1.3 T2 、T3 、 B習(xí)題T4(1)(2)

若(2x3

)的展開式中，若常數(shù)項(xiàng)存在，則2x

n的最小值

七、板書設(shè)計(jì)

1.3.1二項(xiàng)式定理

（1）

0n1nrnrrnn

(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)

（2）二項(xiàng)式系數(shù) （3）Tr1Cnranrbr

(r=0,1,2........n) Cn

（4）二項(xiàng)式定理中，a1,bx

1rr

(1x)n1CnxCnxxn

例1

二項(xiàng)式定理教學(xué)案設(shè)計(jì)2016-09-08 13:51 | #3樓

《二項(xiàng)式定理(一)》教案設(shè)計(jì)

教材：人教A版選修2-3第一章第三節(jié)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：

(1)理解二項(xiàng)式定理是代數(shù)乘法公式的推廣.

(2)理解并掌握二項(xiàng)式定理，能利用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.

2.過程與方法：

通過學(xué)生參與和探究二項(xiàng)式定理的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力，以及化歸的意識(shí)與方法遷移的能力，體會(huì)從特殊到一般的思維方式．

3. 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

培養(yǎng)學(xué)生的自主探究意識(shí)，合作精神，體驗(yàn)二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，體會(huì)數(shù)學(xué)語言的簡潔和嚴(yán)謹(jǐn)．

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理分析(ab)3的展開式，得到二項(xiàng)式定理．

難點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開過程，發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式展開成單項(xiàng)式之和時(shí)各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律.

三、教學(xué)過程

（一）提出問題，引入課題

引入：二項(xiàng)式定理研究的是(ab)n的展開式，如：(ab)2a22abb2，

(ab)3? (ab)4? (ab)100? 那么(ab)n的展開式是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】把問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，直接引出課題．激發(fā)學(xué)生的求知欲，明確本課要解決的問題.

（二）引導(dǎo)探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1、多項(xiàng)式乘法的再認(rèn)識(shí)．

問題1. (a1a2)(b1b2)的展開式是什么？展開式有幾項(xiàng)？每一項(xiàng)是怎樣構(gòu)成的？

問題2. (a1a2)(b1b2)(c1c2)展開式中每一項(xiàng)是怎樣構(gòu)成的？展開式有幾項(xiàng)？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用計(jì)數(shù)原理來解決項(xiàng)數(shù)問題，明確每一項(xiàng)的特征，為后續(xù)學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備. 2、(ab)3展開式的再認(rèn)識(shí)

探究1：不運(yùn)算(ab)3，能否回答下列問題（請(qǐng)以兩人為一小組進(jìn)行討論）：

(1) 合并同類項(xiàng)之前展開式有多少項(xiàng)？

(2) 展開式中有哪些不同的項(xiàng)？

(3) 各項(xiàng)的系數(shù)為多少？

(4) 從上述三個(gè)問題，你能否得出(ab)3的展開式？

探究2：仿照上述過程，請(qǐng)你推導(dǎo)(ab)4的展開式.

【設(shè)計(jì)意圖】通過幾個(gè)問題的層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生用計(jì)數(shù)原理對(duì)(ab)3的展開式進(jìn)行再思考，分析

n各項(xiàng)的形式、項(xiàng)的個(gè)數(shù)，這也為推導(dǎo)(ab)的展開式提供了一種方法，使學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)過程中有

“法”可依．

(三) 形成定理，說理證明

探究3：仿照上述過程，請(qǐng)你推導(dǎo)(ab)n的展開式．

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)——— 二項(xiàng)式定理

證明：(ab)是n個(gè)(ab)相乘，每個(gè)(ab)在相乘時(shí)，有兩種選擇，選a或選b，由分步計(jì)數(shù)原理

nkkbk(k0,1,n)的形式，對(duì)于每一項(xiàng)ab，

它是由k個(gè)(ab)選了b，n－k個(gè)(ab)選了a得到的，它出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從n個(gè)(ab)中取k個(gè)n可知展開式共有2項(xiàng)（包括同類項(xiàng)），其中每一項(xiàng)都是annk

kb的組合數(shù)Cn，將它們合并同類項(xiàng)，就得二項(xiàng)展開式，這就是二項(xiàng)式定理．

【設(shè)計(jì)意圖】通過仿照(ab)3、(ab)4展開式的探究方法，由學(xué)生類比得出(ab)n的展開式．二項(xiàng)式定理的證明采用“說理”的方法，從計(jì)數(shù)原理的角度對(duì)展開過程進(jìn)行分析，概括出項(xiàng)的形式，用組合知識(shí)分析展開式中具有同一形式的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，從而得出用組合數(shù)表示的展開式．

(四) 熟悉定理，簡單應(yīng)用

二項(xiàng)式定理的公式特征：（由學(xué)生歸納，讓學(xué)生熟悉公式）

1. 項(xiàng)數(shù)：共有n１項(xiàng).

2. 次數(shù)：字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n．

各項(xiàng)的次數(shù)都等于n．

012knk3. 二項(xiàng)式系數(shù): 依次為Cn，這里Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cn(k0,1,,n)稱為二項(xiàng)式系數(shù).

knkk4. 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng): 式中的Cnab叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng). 用Tk1表示.

knkk即通項(xiàng)為展開式的第k１項(xiàng): Tk1=Cnab

變一變（1）(ab)n （2）(1x)n

例. 求(2x16)的展開式. x

思考1：展開式的第３項(xiàng)的系數(shù)是多少？

思考2：展開式的第３項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是多少？

思考3：你能否直接求出展開式的`第３項(xiàng)？

【設(shè)計(jì)意圖】熟悉二項(xiàng)展開式，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力．

(五) 課堂小結(jié)，課后作業(yè)

小結(jié)（由學(xué)生歸納本課學(xué)習(xí)的內(nèi)容及體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想）

0n1n1knkknn1. 公式： (ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

2. 思想方法：1.從特殊到一般的思維方式. 2.用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開過程.

作業(yè)

鞏固型作業(yè)：課本36頁習(xí)題1.3 A組 1、2、3

012kn思維拓展型作業(yè)：二項(xiàng)式系數(shù)Cn有何性質(zhì)． ,Cn,Cn,,Cn,,Cn

教案設(shè)計(jì)說明

二項(xiàng)式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識(shí)的具體運(yùn)用，是學(xué)習(xí)概率的重要基礎(chǔ)．

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是“使學(xué)生掌握二項(xiàng)式定理的形成過程”，在教學(xué)中，采用“問題――探究”的教學(xué)模式，把整個(gè)課堂分為呈現(xiàn)問題、探索規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律四個(gè)階段．讓學(xué)生體會(huì)研究問題的方式方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力，以及化歸意識(shí)與方法遷移的能力，體會(huì)從特殊到一般的思維方式，讓學(xué)生體驗(yàn)定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程．

本節(jié)課的難點(diǎn)是用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開過程，發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式展開成單項(xiàng)式之和時(shí)各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律．在教學(xué)中，設(shè)置了對(duì)多項(xiàng)式乘法的再認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用計(jì)數(shù)原理來解決項(xiàng)數(shù)問題，明確每一項(xiàng)的特征，為后面二項(xiàng)展開式的推導(dǎo)作鋪墊．再以(ab)為對(duì)象進(jìn)行探究，引導(dǎo)學(xué)生用計(jì)數(shù)原理進(jìn)行再思考，分析各項(xiàng)以及項(xiàng)的個(gè)數(shù)，這也為推導(dǎo)(ab)的展開式提供了一種方法，使學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)過程中有“法”可依．

總之，本節(jié)課遵循學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，由特殊到一般，由感性到理性．重視學(xué)生的參與過程，問題引導(dǎo)，師生互動(dòng)．重在培養(yǎng)學(xué)生觀察問題，發(fā)現(xiàn)問題，歸納推理問題的能力，從而形成自主探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣．

二項(xiàng)式定理教學(xué)設(shè)計(jì)2016-09-08 8:46 | #4樓

一、教學(xué)目標(biāo)

1．知識(shí)目標(biāo)：掌握二項(xiàng)式定理及其簡單應(yīng)用

2．過程與方法：培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想能力，發(fā)現(xiàn)問題，探求問題的能力，邏輯推理能力以及科學(xué)的思維方式。

3．情感態(tài)度和價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，勇于創(chuàng)新的個(gè)性品質(zhì)，感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡潔美、和諧美和對(duì)稱美。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)、理解和初步應(yīng)用及通項(xiàng)公式

難點(diǎn)：展開式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別

三、教學(xué)過程

創(chuàng)設(shè)問題情境：

今天是星期三，15天后星期幾，30天后星期幾，8100天后星期幾呢？

前面幾個(gè)問題全班所有學(xué)生都大聲地回答出來了，最后一個(gè)問題大家都很迷惑，有些學(xué)生試圖用計(jì)算器算，還是覺得很復(fù)雜，學(xué)習(xí)完這節(jié)課我們就知道答案了，并且我們不用查日歷就能知道未來任何一天是星期幾

新課講解：

問題1 abdc的展開式有多少項(xiàng)？有無同類項(xiàng)可以合并？

由于這一節(jié)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和排列組合知識(shí)之后學(xué)習(xí)的，所以學(xué)生能夠快速的說出答案。

問題2 abb的ab原始展開式有多少項(xiàng)？有幾項(xiàng)是同類項(xiàng)？項(xiàng)是怎樣構(gòu)成a

的？有規(guī)律嗎？

學(xué)生根據(jù)乘法展開式也很快得出結(jié)論

問題3 abbaa2bab的3原始展開式有多少項(xiàng)？經(jīng)合并后又只能有幾項(xiàng)？是哪幾項(xiàng)？

學(xué)生仍然根據(jù)乘法公式算出了答案

問題4 abbaaba的bab的原始展開式有多少項(xiàng)？

44問題5 你能準(zhǔn)確快速地寫出ab的原始展開式的16項(xiàng)嗎？經(jīng)合并后，又只能有哪幾

項(xiàng)？

此時(shí)，學(xué)生能說出其中的一兩項(xiàng)，并不能全部回答出來所有的項(xiàng)，思維覺察到麻煩，困難，易出錯(cuò)——借此“憤悱”之境，有效的實(shí)現(xiàn)思維的烘熱）

啟發(fā)類比：4個(gè)袋中有紅球a，白球b各一個(gè)，每次從4個(gè)袋子中各取一個(gè)球，有什么樣的取法？各種取法有多少種？

在4個(gè)括號(hào)（袋子）中

問題6 其個(gè)數(shù)，為何恰好應(yīng)為該項(xiàng)的系數(shù)？

nrr

問題7 ab在合并后的展開式中，ab的系數(shù)應(yīng)該是多少？有理由嗎？

問題8 那么，該如何將ab輕松、清晰地展開？請(qǐng)同學(xué)們歸納猜想學(xué)生們快速地說出

0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabCnabCnbnN*

我們數(shù)學(xué)講究邏輯地嚴(yán)密性和知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性，大家猜想地很正確，那么我們?cè)趺磥碜C明呢？

思路：證明中主要運(yùn)用了計(jì)數(shù)原理！

① 展開式中為什么會(huì)有那幾種類型的項(xiàng)？

是n個(gè)ab相乘，展開式中的每一項(xiàng)都是從這n個(gè)ab中各任取一個(gè)字母相

乘得到的，每一項(xiàng)都是n次的。故每一項(xiàng)都是a② 展開式中各項(xiàng)的系數(shù)是怎么來的？

bk的形式，k0,1,2,,n

ankbk是從n個(gè)ab中取k個(gè)b，和余下nk個(gè)a相乘得到的，有Cn種情況可以得到

kankbk，因此，該項(xiàng)的系數(shù)為Cn

定義：一般地，對(duì)于任意正整數(shù)n，上面的關(guān)系式也成立，即有

0n1n1n2n22knkknn

CnaCnabCnabCnabCnbnN*

注：（1）公式左邊叫做二項(xiàng)式，右邊叫做ab的二項(xiàng)展開式

（2）定理中的a,b僅僅是一種符號(hào)，它可以是任意的數(shù)或式子什么的，只要是兩項(xiàng)相加的n次冪，就能用二項(xiàng)式定理展開

例：把b換成b，則

0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnab1Cnab1CnbnN*

練習(xí)：令a1,bx，則

01122kknnCnCnxCnxCnxCnxnN*

問題9 二項(xiàng)式定理展開式中項(xiàng)數(shù)、指數(shù)、系數(shù)特點(diǎn)是什么？哪一項(xiàng)最有代表性

公式特征：

（1）項(xiàng)數(shù)：共有n1項(xiàng)

（2）指數(shù)規(guī)律： ① 各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的系數(shù)n（關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式） ② 字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n

knkk（3）二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)：Tk1Cnab，k0,1,2,,n

012knk（4）二項(xiàng)式系數(shù)：依次為Cn。這里Cn（k0,1,2,,n）稱為二,Cn,Cn,Cn,Cn

項(xiàng)式系數(shù)

現(xiàn)在同學(xué)們能告訴老師8100天后星期幾嗎？

思考了一會(huì)兒，馬上有同學(xué)大聲喊：把8寫成7+1，再進(jìn)行展開，余數(shù)是多少，就是星期幾老師故意問：為什么要寫成7+1，這時(shí)，所有學(xué)生都明白了，因?yàn)橐粋€(gè)星期7天，所以

n810071展開式中除了最后一項(xiàng)外，其余的項(xiàng)都是7的倍數(shù)，因此余數(shù)為Cn1，故100

應(yīng)為星期四。

例1

求的展開式方法一：直接展開 11

技巧：將根式先化成冪的形式，再進(jìn)行計(jì)算，要簡單很多。即原式變成2x2x2 66

方法二：先合并化簡，再展開

建議用第二種方法簡單些。

變式一：展開式中的常數(shù)項(xiàng)是多少？

變式二：展開式中的第3項(xiàng)是多少？

變式三：展開式中的第3項(xiàng)的系數(shù)是多少？

變式四：展開式中的第3項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)是多少？

注意：二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，二項(xiàng)式系數(shù)就是一個(gè)組合數(shù)，與a,b無關(guān)；系數(shù)與a,b有關(guān)。

例2 （1）求(12x)7的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

13 （2）x的展開式中x的系數(shù)和中間項(xiàng) x

例3 求(xa)12的展開式中的倒數(shù)第4項(xiàng)

小結(jié)：（1）注意二項(xiàng)式定理中二項(xiàng)展開式的特征

（2）區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)

（3）掌握用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)及項(xiàng)。

作業(yè)：P37 4，5

教學(xué)反思：本節(jié)課先用今天星期幾的問題創(chuàng)設(shè)問題情境，一下子把全班學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性都調(diào)動(dòng)起來了，當(dāng)大家不知道老師葫蘆里賣的什么藥時(shí)，老師由淺入深的提問，最后問到81009天后星期幾，從而引出今天的課題：二項(xiàng)式定理。給大家設(shè)置這個(gè)懸念后，緊接著又進(jìn)行一系列的問題教學(xué)，讓學(xué)生自己去探究去回答，最后學(xué)生之間合作交流歸納猜想出二項(xiàng)式定理的展開式，整個(gè)過程順理成章地完成。

1.知識(shí)與技能：

(1)理解二項(xiàng)式定理是代數(shù)乘法公式的推廣.

(2)理解并掌握二項(xiàng)式定理，能利用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.

2.過程與方法：

通過學(xué)生參與和探究二項(xiàng)式定理的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的

能力，以及化歸的意識(shí)與方法遷移的能力，體會(huì)從特殊到一般的思維方式．

3. 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

培養(yǎng)學(xué)生的自主探究意識(shí)，合作精神，體驗(yàn)二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，

體會(huì)數(shù)學(xué)語言的簡潔和嚴(yán)謹(jǐn)．

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理分析的展開式，得到二項(xiàng)式定理．

難點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開過程，發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式展開成單項(xiàng)式之和時(shí)各

項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律.

一、說教材

1、地位及作用：

二項(xiàng)式定理安排在高中數(shù)學(xué)選修2-3第三節(jié),是排列組合內(nèi)容后的一部分內(nèi)容，其形成過程是組合知識(shí)的應(yīng)用，同時(shí)也為隨后學(xué)習(xí)的概率知識(shí)及概率與統(tǒng)計(jì)，作知識(shí)上的鋪墊。

二項(xiàng)展開式與多項(xiàng)式乘法有密切的聯(lián)系，本節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)，必然從更廣的視角和更高

的層次來審視初中學(xué)習(xí)的關(guān)于多項(xiàng)式變形的知識(shí)。運(yùn)用二項(xiàng)式定理可以解決一些比較典型的數(shù)學(xué)問題，例如近似計(jì)算、整除問題、不等式的證明等。

2、重點(diǎn)難點(diǎn)分析：

重點(diǎn)：

（1）使學(xué)生參與并深刻體會(huì)二項(xiàng)式定理形成過程，掌握二項(xiàng)式系數(shù)的規(guī)律。

（2）能夠應(yīng)用二項(xiàng)式定理、對(duì)二項(xiàng)式進(jìn)行展開。

難點(diǎn)：

運(yùn)用多項(xiàng)式乘法以及組合知識(shí)推導(dǎo)二項(xiàng)式定理的過程。

A.知識(shí)與技能

（1）使學(xué)生參與并探討二項(xiàng)式定理的形成過程，掌握二項(xiàng)式系數(shù)、字母的冪次、

展開式項(xiàng)數(shù)的規(guī)律。

（2）能夠應(yīng)用二項(xiàng)式定理對(duì)所給出的二項(xiàng)式進(jìn)行正確的展開。

B.過程與方法

通過二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察，猜想，歸納的能力。

C.情感態(tài)度與價(jià)值觀

（1）通過學(xué)生自主參與和探討二項(xiàng)式定理的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的興趣

和信心。

（2）通過學(xué)生自主參與和探討二項(xiàng)式定理的形成過程，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧對(duì)稱美。

三﹑說教法和學(xué)法

1、教法

為了完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生主動(dòng)探索展開式的由來是關(guān)鍵。本節(jié)課的教法貫

穿啟發(fā)式教學(xué)原則，采用多媒體輔助教學(xué)方法，以“引導(dǎo)思考”為核心，設(shè)計(jì)課件展示，并引導(dǎo)學(xué)生沿著積極的思維方向，逐步達(dá)到即定的教學(xué)目標(biāo)，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力；同時(shí)，考慮到學(xué)生的個(gè)體差異，在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行分層施教，實(shí)現(xiàn)“有差異”的發(fā)展。

2 、學(xué)法

根據(jù)學(xué)生思維的特點(diǎn)，遵循“教必須以學(xué)為主”的教學(xué)理念，讓每一個(gè)學(xué)生自主參與整

堂課的知識(shí)構(gòu)建。在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比遷移，對(duì)照學(xué)習(xí)。

3 、教學(xué)手段

利用電腦，投影儀等多媒體教學(xué)展現(xiàn)二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過程，激發(fā)學(xué)生的的興趣。

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