證明面面垂直的方法及定理

面面垂直可不好證明，這是要合適的證明方法的，不然證明就會出錯。下面就是百分網小編給大家整理的證明面面垂直的方法內容，希望大家喜歡。

證明面面垂直的方法

#CD=#BD-#BC,#AC=#BC-#BA,#AD=#BD-#BA.

【資料圖】

對角線的點積：#AC·#BD=(#BC-#BA)·#BD=#BC·#BD-#BA·#BD

兩組對邊平方和分別為：

AB2+CD2=AB2+(#BD-#BC)2=AB2+BD2+BC2-2#BD·#BC

AD2+BC2=(#BD-#BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2-2#BD·#BA

則AB2+CD2=AD2+BC2等價于#BD·#BC=#BD·#BA等價于#AC·#BD=0

所以原命題成立，空間四邊形對角線垂直的充要條件是兩組對邊的平方和相等

證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉化成

一個平面的"垂線在另一個平面內,即一條直線垂直于另一個平面

然后轉化成

一條直線垂直于另一個平面內的兩條相交直線

也可以運用兩個面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

面面垂直學生如何證明

一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90° ，即直角三角形的兩個銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法 兩條直線的方向向量數量積為0

2斜率 兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理 在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理 如果平面內一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：

Ⅰ.平行關系：

線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。

平面平行與平面垂直的知識點

1. 空間兩個平面的位置關系：相交、平行.

2. 平面平行判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，哪么這兩個平面平行.(“線面平行，面面平行”)

推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行;平行于同一平面的兩個平面平行.

[注]：一平面間的任一直線平行于另一平面.

3. 兩個平面平行的性質定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.(“面面平行，線線平行”)

4. 兩個平面垂直性質判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.

兩個平面垂直性質判定二：如果一個平面與一條直線垂直，那么經過這條直線的平面垂直于這個平面.(“線面垂直，面面垂直”)

注：如果兩個二面角的平面對應平面互相垂直，則兩個二面角沒有什么關系.

5. 兩個平面垂直性質定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面.

推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.

證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于，

因為則.

6. 兩異面直線任意兩點間的距離公式：(為銳角取加，為鈍取減，綜上，都取加則必有)